Зависимость от времени координаты точки, движущейся вдоль оси x, имеет вид: x = 10t - 2t^2. Опишите...

Для описания характера движения точки, движущейся вдоль оси x, посмотрим на уравнение x = 10t - 2t^2. Из этого уравнения видно, что координата x зависит от времени t квадратично, что означает, что точка движется с ускорением, так как вторая производная координаты по времени не равна нулю.

Начальная скорость тела определяется как производная координаты по времени в начальный момент времени t=0, т.е. v(0) = dx/dt|t=0 = 10 м/с.

Ускорение тела определяется как производная скорости по времени, то есть a(t) = dv/dt = d^2x/dt^2 = -4 м/с^2.

Перемещение тела за 2 секунды можно найти, вычислив значение координаты x в момент времени t=2 секунды: x(2) = 102 - 22^2 = 16 м.

Уравнение для проекции скорости можно записать как v(t) = dx/dt = 10 - 4t м/с.

Давайте подробно разберем движение точки, заданное уравнением ( x(t) = 10t - 2t^2 ).

1. Характер движения:

   Уравнение ( x(t) = 10t - 2t^2 ) описывает движение вдоль оси x. Это квадратичная функция времени, что указывает на то, что движение является равноускоренным. Коэффициент при ( t^2 ) отрицательный, следовательно, ускорение направлено противоположно начальной скорости, что говорит о замедлении.

2. Начальная скорость и ускорение:

   Для определения начальной скорости и ускорения необходимо рассмотреть производные координаты по времени:

   • Скорость ( v(t) ) — это первая производная координаты по времени: [ v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(10t - 2t^2) = 10 - 4t. ] Начальная скорость ( v_0 ) — это скорость в момент времени ( t = 0 ): [ v_0 = v(0) = 10 \, \text{м/с}. ]

   • Ускорение ( a(t) ) — это первая производная скорости по времени (вторая производная координаты по времени): [ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(10 - 4t) = -4 \, \text{м/с}^2. ] Ускорение постоянно и равно (-4 \, \text{м/с}^2).

3. Перемещение за 2 секунды:

   Перемещение ( \Delta x ) за время от ( t = 0 ) до ( t = 2 ) секунды определяется как разность координат в конечный и начальный моменты времени: [ \Delta x = x(2) - x(0). ] Вычислим: [ x(0) = 10 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2 = 0, ] [ x(2) = 10 \cdot 2 - 2 \cdot 2^2 = 20 - 8 = 12. ] Следовательно, перемещение за 2 секунды: [ \Delta x = 12 - 0 = 12 \, \text{м}. ]

4. Уравнение для проекции скорости:

   Как уже было получено, проекция скорости на ось x в любой момент времени ( t ) определяется уравнением: [ v(t) = 10 - 4t. ]

Таким образом, тело начинает движение с начальной скоростью 10 м/с и движется с постоянным отрицательным ускорением (-4 \, \text{м/с}^2), замедляясь. За 2 секунды оно перемещается на 12 метров.