Баллон содержит сжатый газ при температуре 300 К и давление 200 кПа. Каким будет давление в баллоне, когда из негобудет выпущено 0,6 молль газа, а температура понизиться до 0 градусов цельсия? С дано и полным решением!
Баллон содержит сжатый газ при температуре 300 К и давление 200 кПа. Каким будет давление в баллоне, когда из негобудет выпущено 0,6 молль газа, а температура понизиться до 0 градусов цельсия? С дано и полным решением!
Дано:
Обозначим:
Используем уравнение состояния идеального газа для начального и конечного состояния: [ P_1 V = n_1 R T_1 ] [ P_2 V = n_2 R T_2 ]
Рассмотрим, что объем баллона ( V ) и газовая постоянная ( R ) остаются неизменными. Для удобства исключим объем ( V ) из уравнений, поделив второе уравнение на первое: [ \frac{P_2}{P_1} = \frac{n_2 T_2}{n_1 T_1} ]
Выразим конечное давление ( P_2 ): [ P_2 = P_1 \cdot \frac{n_2 T_2}{n_1 T_1} ]
Подставим ( n_2 = n_1 - \Delta n ): [ P_2 = P_1 \cdot \frac{(n_1 - \Delta n) T_2}{n_1 T_1} ]
Теперь нужно определить начальное количество вещества ( n_1 ). Для этого используем начальное состояние: [ n_1 = \frac{P_1 V}{R T_1} ]
Подставим это значение в уравнение для ( P_2 ): [ P_2 = P_1 \cdot \frac{\left( \frac{P_1 V}{R T_1} - \Delta n \right) T_2}{\frac{P_1 V}{R T_1} T_1} ]
Упростим: [ P_2 = P_1 \cdot \frac{\left( \frac{P_1 V}{R T_1} - \Delta n \right) T_2}{\frac{P_1 V}{R T_1} T_1} ] [ P_2 = P_1 \cdot \frac{\left( P_1 V - \Delta n R T_1 \right) T_2}{P_1 V T_1} ]
Так как объем ( V ) и газовая постоянная ( R ) сокращаются, упростим выражение: [ P_2 = P_1 \cdot \left( 1 - \frac{\Delta n R T_1}{P_1 V} \right) \cdot \frac{T_2}{T_1} ]
Рассмотрим, что ( \frac{R T_1}{P_1 V} = \frac{n_1}{P_1} ), так как ( n_1 = \frac{P_1 V}{R T_1} ): [ P_2 = P_1 \cdot \left( 1 - \frac{\Delta n}{n_1} \right) \cdot \frac{T_2}{T_1} ]
Так как ( n_1 = \frac{P_1 V}{R T_1} ), подставим это значение: [ P_2 = P_1 \cdot \left( 1 - \frac{\Delta n R T_1}{P_1 V} \right) \cdot \frac{T_2}{T_1} ]
Теперь, подставив все значения: [ P_2 = 200 \text{ кПа} \cdot \left( 1 - \frac{0.6 \cdot 8.31 \cdot 300}{200 \cdot V} \right) \cdot \frac{273}{300} ]
Упростим: [ P_2 = 200 \cdot \left( 1 - \frac{1494}{200 V} \right) \cdot 0.91 ]
Теперь необходимо выразить ( V ) через ( n_1 ): [ n_1 = \frac{P_1 V}{R T_1} ]
Подставим значения: [ V = \frac{n_1 R T_1}{P_1} ]
Мы не можем точно определить ( V ), так как у нас нет начального числа молей ( n_1 ), но можем упростить до зависимости от начального числа молей: [ P_2 = P_1 \cdot \left( 1 - \frac{\Delta n}{n_1} \right) \cdot \frac{T_2}{T_1} ]
Таким образом, конечное давление можно выразить как: [ P_2 = 200 \cdot \left( 1 - \frac{0.6}{n_1} \right) \cdot 0.91 ]
При условии, что ( n_1 ) достаточно велико, вероятность изменения давления составит:
[ P_2 \approx 200 \times 0.91 = 182 \text{ кПа} ] (если ( \frac{0.6}{n_1} ) пренебрежимо мало).
Конечное давление в баллоне приблизительно 182 кПа.
Для решения этой задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа: (PV = nRT), где P - давление, V - объем, n - количество вещества газа в молях, R - универсальная газовая постоянная, T - температура в Кельвинах.
Для начального состояния баллона: (P_1 = 200 кПа), (T_1 = 300 K), (n_1 = ?) (количество молей газа в баллоне), (V_1 = ?) (объем баллона).
Для конечного состояния баллона после выпуска газа: (P_2 = ?) (искомое давление), (T_2 = 273 K) (понижение температуры до 0°C), (n_2 = n_1 - 0.6 моль) (количество молей газа после выпуска), (V_2 = V_1) (по условию задачи не изменяется).
Так как объем баллона не изменяется, то (V_1 = V_2), и уравнения состояния газа можно записать в виде: (P_1 \cdot V_1 = n_1 \cdot R \cdot T_1) и (P_2 \cdot V_2 = n_2 \cdot R \cdot T_2).
Таким образом, можно записать уравнения для начального и конечного состояния баллона:
1) (200 \cdot V_1 = n_1 \cdot R \cdot 300),
2) (P_2 \cdot V_1 = (n_1 - 0.6) \cdot R \cdot 273).
Из уравнений выразим (n_1) из первого уравнения: (n_1 = \frac{200 \cdot V_1}{R \cdot 300}). Подставим это значение во второе уравнение:
(P_2 \cdot V_1 = \left(\frac{200 \cdot V_1}{R \cdot 300} - 0.6\right) \cdot R \cdot 273).
Упростим уравнение и найдем значение (P_2):
(P_2 = \frac{200 \cdot 273}{300} - \frac{0.6 \cdot 273}{300} = 182 - 0.546 = 181.454 кПа).
Итак, давление в баллоне после выпуска газа и понижения температуры будет равно 181.454 кПа.
